Curso introductorio · Módulo de Matemáticas · Tema 3

Logaritmos y antilogaritmos

Las 15 diapositivas explicadas desde cero: qué es un logaritmo, sus propiedades, el cologaritmo y el pH, el antilogaritmo y de dónde sale la ecuación de Henderson-Hasselbalch.

Profesor Dr. Jesús Hernández · Bioanalista, PhD en Farmacología 15 diapositivas 6 propiedades

iLa idea de todo el tema en 30 segundos

El logaritmo es la operación inversa de la potencia. La potencia pregunta «¿cuánto da 2 elevado a 3?» (8). El logaritmo pregunta al revés: «¿a qué exponente tengo que elevar el 2 para que dé 8?» (3). En el Tema 1 viste que el exponente de 10 dice el orden de magnitud de un número; el logaritmo en base 10 es justamente ese exponente. Por eso sirve para el pH: en vez de decir «[H⁺] = 0,001 mol/L» se dice «pH 3».

Diapositivas 2 y 3

1¿Qué es un logaritmo?

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al que hay que elevar esa base para obtener ese número.

23 = 8potencia

log2 8 = 3logaritmo

Las dos frases dicen lo mismo con distinto orden. Se lee «logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3».

2 base3 exponente = el logaritmo8 número

★La pregunta del logaritmo

Cada vez que veas log_b N, pregúntate: «¿b elevado a qué da N?». La respuesta es el logaritmo.

El exponente se vuelve el logaritmo

Los cuatro ejemplos de la diapositiva 3. Mira cómo el exponente de la potencia (en rojo) pasa a ser la respuesta del logaritmo, y el resultado de la potencia pasa a ser el número del que se saca el log. La base (en azul) se queda abajo, chiquita.

Los ejemplos de la diapositiva 3

Logaritmo	La pregunta	Porque	Resultado
log₅ 25	¿5 elevado a qué da 25?	5² = 25	2
log₂ 16	¿2 elevado a qué da 16?	2⁴ = 16	4
log₁₀ 100 000	¿10 elevado a qué da 100 000?	10⁵ = 100 000	5
log₁₀ 0,001	¿10 elevado a qué da 0,001?	10⁻³ = 0,001 como en el Tema 1	−3

iLas dos bases que vas a usar extra

log sin base escrita = base 10 (logaritmo decimal). Es la tecla log de la calculadora y la que se usa para el pH.
ln = base e (logaritmo natural o neperiano). e es un número especial, como π: vale 2,71828… Es la tecla ln.

La regla de los logaritmos en base 10 extra

1000log = 3

100log = 2

10log = 1

1log = 0

0,1log = −1

0,01log = −2

0,001log = −3

← números mayores que 1: log positivoentre 0 y 1: log negativo →

★Lo que ya sabes del Tema 1

El log de 1 seguido de n ceros es n. El log de 0,0…01 es −(lugar del 1). Y un número entre dos potencias de 10 tiene su log entre esos dos exponentes: como 2 está entre 1 y 10, log 2 está entre 0 y 1 (log 2 = 0,30103).

!No existe el logaritmo de 0 ni de un número negativo extra

Ninguna potencia de una base positiva da 0 o un número negativo (10 elevado a cualquier cosa siempre es positivo). Ojo: el número no puede ser negativo, pero el logaritmo sí: log 0,001 = −3.

Diapositivas 4, 5, 6 y 7

2Propiedades de los logaritmos

Son seis. No hay que memorizarlas a ciegas: todas salen de las propiedades de las potencias que viste en el Tema 1, porque un logaritmo es un exponente.

1 · Logaritmo de 1

log_b 1 = 0En cualquier base, porque todo número elevado a 0 da 1.log₁₀ 1 = 0 · log₂ 1 = 0

2 · Logaritmo de la base corregido

log_b b = 1Porque toda base elevada a 1 es ella misma.log₁₀ 10 = 1 · log₂ 2 = 1 · ln e = 1

3 · Producto

log (a · b) = log a + log bMultiplicar adentro → sumar afuera.log (10 · 2) = log 10 + log 2 = 1 + 0,30103 = 1,30103 (= log 20)

4 · Cociente corregido

log ab = log a − log bDividir adentro → restar afuera (el de arriba menos el de abajo).log 102 = 1 − 0,30103 = 0,69897 ≈ 0,699 (= log 5)

5 · Potencia

log aⁿ = n · log aEl exponente baja y multiplica al logaritmo.log 100² = 2 · log 100 = 2 · 2 = 4 (y sí: 100² = 10 000, log 10 000 = 4)

6 · Raíz

log ⁿ√b = log bnEl logaritmo de adentro se divide entre el índice. Si la raíz no tiene índice, es 2.log √100 = log 1002 = 22 = 1 (y sí: √100 = 10)

!Errores en las diapositivas 5 y 6

La diapositiva 5 pone log_e 2,71 = 1. El número e no es 2,71: es 2,71828… Lo correcto es log_e e = 1 (o ln e = 1). ln 2,71 da 0,997: casi 1, pero no 1.
La diapositiva 6 dice que el logaritmo de un producto «es igual a la suma de los factores». Es la suma de los logaritmos de los factores. La fórmula de la diapositiva sí está bien.
En la diapositiva 6, log 10/2 = 1 − 0,30103 = 0,69897, que se redondea a 0,699 (no 0,698).

El truco: los logaritmos «bajan un escalón» las operaciones

Adentro del log	Afuera se vuelve	¿De dónde sale? (Tema 1)
multiplicación ×	suma +	xⁿ · x^m = x^n+m: al multiplicar, los exponentes se suman
división ÷	resta −	xⁿ / x^m = x^n−m
potencia ^n	multiplicación × n	(xⁿ)^m = x^n·m
raíz ⁿ√	división ÷ n	una raíz es una potencia fraccionaria: ⁿ√b = b^1/n

!Las trampas de siempre extra

log (a + b) no es log a + log b. No hay regla para el log de una suma.
log a / log b (un log dividido entre otro) no es log (a/b).
(log a)² no es 2 log a. La regla de la potencia es solo cuando el exponente está adentro: log a².

Diapositiva 8

3Ejercicio resumen: desarrollar un logaritmo

«Desarrollar» es usar las propiedades para separar un logaritmo complicado en logaritmos sencillos, uno por cada letra.

Enunciado · diapositiva 8Desarrolla: log a² · b · ⁴√(m x)b³ · m

Cociente → restalog (a² · b · ⁴√(m x)) − log (b³ · m)
Producto → suma, en cada parte (con paréntesis: el menos afecta a todo)log a² + log b + log ⁴√(m x) − (log b³ + log m)
Potencia → el exponente baja · raíz → se divide entre el índice2 log a + log b + log (m x)4 − (3 log b + log m)
Abre el paréntesis y separa log (m x) = log m + log x2 log a + log b + 14 log m + 14 log x − 3 log b − log m
Junta los términos iguales extralog b − 3 log b = −2 log b · 14 log m − log m = −34 log m

Respuesta2 log a − 2 log b − 34 log m + 14 log xEl paso 4 (sin juntar términos) también es una respuesta correcta.

!Error en la diapositiva 8 (el último renglón)

La diapositiva termina en 2 log a + log b + log mx − log 4 − 3 log b − log m. Convirtió «log mx / 4» en «log mx − log 4», y no es lo mismo: el 4 viene del índice de la raíz y divide al logaritmo, es ¼ · log (m x). «log mx − log 4» sería el logaritmo de (m x)/4, que es otra cosa.

Compruébalo con números (a = 2, b = 3, m = 5, x = 7): el logaritmo original da −0,665. Nuestra respuesta da −0,665 ✓. La de la diapositiva da −0,109 ✗.

la raíz divide al log, no resta un log 4

Diapositiva 9

4Cologaritmo y pH

El cologaritmo es el logaritmo con el signo cambiado: colog n = −log n.

colog 100

= −log 100 = −2log 100 = 2, y el colog le cambia el signo.

colog 10⁻⁵

= −(−5) = 5log 10⁻⁵ = −5; menos por menos da más.

iLa aplicación en química: el pH

pH = colog [H⁺] = −log [H⁺]

[H⁺] es la concentración de iones hidrógeno en mol/L (molaridad). Casi siempre es un número diminuto (0,001; 0,0000001), así que su log es negativo. El signo menos lo vuelve positivo y cómodo: en vez de «10⁻³ mol/L» decimos pH 3.

!Precisión sobre «(para ácidos fuertes)»

La fórmula pH = −log [H⁺] vale para cualquier solución. Lo que solo vale para ácidos fuertes es el atajo de usar la concentración del ácido como [H⁺], porque un ácido fuerte como el HCl se disocia por completo (HCl → H⁺ + Cl⁻). Con un ácido débil eso no se puede hacer (ahí entra el pKa, sección 6).

Ejemplo de la diapositiva · pH de una solución de HCl 10⁻³ M

Enunciado · diapositiva 9Calcular el pH de una solución de HCl 10⁻³ M.

Dato	Valor	¿De dónde sale?
Concentración del HCl	10⁻³ M	Del enunciado. M = mol/L.
[H⁺]	10⁻³ mol/L	El HCl es un ácido fuerte: cada HCl suelta un H⁺, así que [H⁺] = concentración del ácido.

Escribe la fórmula: pH = −log [H⁺].
Sustituye: pH = −log 10⁻³.
log 10⁻³ = −3 (el log de una potencia de 10 es su exponente).
Cambia el signo: pH = −(−3) = 3.

RespuestapH = 3Una solución ácida (pH menor que 7).

✓Compruébalo

Al revés: si el pH es 3, [H⁺] = 10⁻³ M ✓ (eso es el antilogaritmo, sección 5).

!La trampa

Olvidar el signo menos y escribir pH = −3. Un ácido diluido como este nunca tiene pH negativo.

★Si [H⁺] no es una potencia de 10 exacta extra

HCl 2 × 10⁻³ M: pH = −log (2 × 10⁻³) = −(log 2 + log 10⁻³) = −(0,301 − 3) = 2,70. Usaste la propiedad del producto. Hay más ácido que en el ejemplo anterior, y por eso el pH baja un poco.

La escala de pH

HCl 10⁻³ MpH 3 esmaltepH 5,5 crítico agua purapH 7 sangrepH 7,4

01234567891011121314

← ácido: más H⁺básico: menos H⁺ →

iCada unidad de pH es un orden de magnitud

Como el pH es un logaritmo, bajar 1 unidad de pH = 10 veces más H⁺. Por eso el HCl 10⁻³ M (pH 3) tiene 10⁷⁻³ = 10 000 veces más H⁺ que el agua pura (pH 7). Un pH más bajo es más ácido.

+Dónde lo verás: la caries

Por debajo de un pH de alrededor de 5,5 (el «pH crítico»), el esmalte empieza a desmineralizarse. Pasar de pH 7 a 5,5 parece poco, pero son 1,5 órdenes de magnitud: 10^1,5 ≈ 32 veces más H⁺.

Pruébalo: mueve el pH y mira cuántos H⁺ hay

Diapositiva 10

5Antilogaritmo

El antilogaritmo es el número al que le corresponde un logaritmo. Hace el camino de vuelta: del exponente al número.

Definición · diapositiva 10 si log_n X = Y → X = antilog Y = n^Y El antilogaritmo es elevar la base al logaritmo.

log₂ X = 3

X = 2³ = 8El antilog de 3 en base 2 es 8.

log X = 2

X = 10² = 100Sin base escrita es base 10: antilog 2 = 100.

★En la calculadora y en el pH extra

En base 10, antilog Y = 10^Y: es la tecla 10^x (normalmente SHIFT + log). Con ella se saca la [H⁺] a partir del pH:

[H⁺] = antilog (−pH) = 10^−pH

Ej.: sangre, pH 7,4 → [H⁺] = 10^−7,4 = 3,98 × 10⁻⁸ mol/L. pH 4 → [H⁺] = 10⁻⁴ mol/L.

Diapositivas 11, 12, 13 y 14

6La ecuación de Henderson-Hasselbalch

Es la aplicación más importante del tema en química y bioquímica. Relaciona el pH de una solución amortiguadora (un buffer) con el pKa de su ácido y con la proporción entre sus dos formas. Sale usando solo lo que ya viste: logaritmos y la propiedad del producto.

iVocabulario que necesitas

HA: un ácido débil. Es el dador de protones (suelta H⁺).
A⁻: lo que queda cuando HA suelta su H⁺ (su base conjugada). Es el aceptor de protones (puede volver a tomar un H⁺).
Ka: la constante de acidez. Dice cuánto se disocia el ácido.
pKa = −log Ka. La «p» significa siempre «menos logaritmo», igual que en el pH.

La deducción, paso a paso

Recordando que (diapositiva 12)HA ⇌ H⁺ + A⁻ Ka = [H⁺] [A⁻][HA]
Aplica logaritmo a ambos ladoslog Ka = log [H⁺] [A⁻][HA]
Propiedad del producto: log (x · y) = log x + log ylog Ka = log [H⁺] + log [A⁻][HA]
Reordena (diapositiva 13): pasa los términos y multiplica todo por −1−log [H⁺] = −log Ka + log [A⁻][HA]
Cambia de nombre: −log [H⁺] = pH y −log Ka = pKapH = pKa + log [A⁻][HA]

Detalle del paso 4 extra: de log Ka = log [H⁺] + log ([A⁻]/[HA]) se despeja log [H⁺] = log Ka − log ([A⁻]/[HA]); al multiplicar por −1 cambian todos los signos.

Ecuación de Henderson-HasselbalchpH = pKa + log [aceptor de protones][dador de protones]

La aplicación del antilogaritmo (diapositiva 14)

Si conoces el pH y el pKa, puedes saber la proporción entre las dos formas:

Pasa el pKa restando: log [aceptor][dador] = pH − pKa
Saca el antilogaritmo a ambos lados: [aceptor][dador] = antilog (pH − pKa) = 10^{pH − pKa}

Ejemplo resuelto · el buffer de bicarbonato extra

EnunciadoEl sistema bicarbonato / ácido carbónico tiene un pKa de 6,1. ¿Cuál es la relación [bicarbonato]/[ácido carbónico] en la sangre, que tiene pH 7,4?

Dato	Valor	¿De dónde sale?
pH	7,4	Del enunciado (el pH normal de la sangre).
pKa	6,1	Del enunciado.
Aceptor / dador	bicarbonato / ácido carbónico	El ácido carbónico (H₂CO₃) suelta el H⁺: es el dador. El bicarbonato (HCO₃⁻) lo acepta.

pH − pKa = 7,4 − 6,1 = 1,3.
Antilogaritmo: 10^1,3 = 19,95 ≈ 20 (calculadora: SHIFT + log, 1,3).

Respuesta[bicarbonato] / [ácido carbónico] ≈ 20En la sangre hay unas 20 partes de bicarbonato por cada parte de ácido carbónico.

✓Compruébalo

Vuelve a la ecuación: 6,1 + log 20 = 6,1 + 1,30 = 7,4 ✓.

!La trampa

Restar al revés (pKa − pH = −1,3) da 10^−1,3 = 0,05: sería la proporción dador/aceptor, la inversa.

★Para razonar sin calculadora extra

Si pH = pKa, la proporción es 10⁰ = 1: hay la misma cantidad de las dos formas.
Cada unidad de pH por encima del pKa multiplica la proporción por 10 (domina el aceptor). Cada unidad por debajo la divide entre 10 (domina el dador).

+Dónde lo verás: la saliva

El bicarbonato también es el principal amortiguador de la saliva: neutraliza los ácidos después de comer y ayuda a que el pH de la boca vuelva a subir por encima del pH crítico.

Todo el tema

Resumen en una tabla

Si solo tienes 5 minutos antes del examen, repasa esto.

Tema	Lo que tienes que saber	Ejemplo
Logaritmo	log_b N = exponente al que se eleva b para que dé N	log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8
Bases	log = base 10 · ln = base e (2,718…)	log 0,001 = −3
log 1 y log b	log_b 1 = 0 · log_b b = 1	ln e = 1
Producto y cociente	× → + · ÷ → −	log 20 = log 10 + log 2 = 1,301
Potencia y raíz	log aⁿ = n log a · log ⁿ√b = (log b)/n	log √100 = 2/2 = 1
Cologaritmo	colog n = −log n	colog 10⁻⁵ = 5
pH	pH = −log [H⁺] · cada unidad = 10 veces más o menos H⁺	HCl 10⁻³ M → pH 3
Antilogaritmo	antilog Y = base^Y · [H⁺] = 10^−pH	antilog 2 = 100
Henderson-Hasselbalch	pH = pKa + log [aceptor]/[dador]	[aceptor]/[dador] = 10^{pH − pKa}

Para estudiar

Practica

Primero las tarjetas: toca cada una para ver la respuesta. Después los ejercicios, con su solución paso a paso.

DEFINELogaritmotoca para ver

El exponente al que se eleva la base para obtener el número

¿CUÁNTO DA?log₃ 9toca para ver

2, porque 3² = 9

¿CUÁNTO DA?log 1000toca para ver

¿CUÁNTO DA?log 0,01toca para ver

−2

¿QUÉ BASE?log · lntoca para ver

log: base 10 · ln: base e (2,718…)

¿CUÁNTO DA?log_b 1toca para ver

0 (en cualquier base)

¿CUÁNTO DA?ln etoca para ver

1 (log de la base)

PROPIEDADlog (a · b)toca para ver

log a + log b

PROPIEDADlog (a / b)toca para ver

log a − log b

PROPIEDADlog aⁿtoca para ver

n · log a

PROPIEDADlog ⁿ√btoca para ver

(log b) / n

¿EXISTE?log (a + b) = log a + log btoca para ver

No: no hay regla para la suma

DEFINECologaritmotoca para ver

colog n = −log n

FÓRMULApHtoca para ver

pH = −log [H⁺]

¿CUÁNTO DA?pH de HCl 10⁻² Mtoca para ver

¿CUÁNTAS VECES?pH 4 vs. pH 6toca para ver

pH 4 tiene 100 veces más H⁺

DEFINEAntilogaritmotoca para ver

antilog Y = base^Y (en base 10: 10^Y)

FÓRMULA[H⁺] desde el pHtoca para ver

[H⁺] = 10^−pH

ECUACIÓNHenderson-Hasselbalchtoca para ver

pH = pKa + log [aceptor]/[dador]

¿QUÉ PASA?pH = pKatoca para ver

[aceptor] = [dador]: proporción 1

Ejercicios extra

¿Las sabías? 0 de 10· por repasar: 0

1Calcula log₃ 81.

¿3 elevado a qué da 81? 3⁴ = 81.4

¿La sabías?

2Calcula log₂ (1/8).

1/8 = 2⁻³ (Tema 1: exponente negativo).−3

¿La sabías?

3Calcula log 0,0001.

0,0001 = 10⁻⁴.−4

¿La sabías?

4Sabiendo que log 2 = 0,30103, calcula log 50.

50 = 100 / 2 → log 50 = log 100 − log 2 = 2 − 0,30103.1,69897

¿La sabías?

5Calcula log √1000.

Raíz → se divide entre el índice: log 1000 / 2 = 3 / 2.1,5

¿La sabías?

6Desarrolla log (x³ · y / z²).

Cociente → resta; producto → suma; potencias → bajan.3 log x + log y − 2 log z

¿La sabías?

7Calcula colog 10⁻⁸.

colog = −log → −(−8).8

¿La sabías?

8¿Cuál es el pH de una solución de HCl 0,05 M?

Ácido fuerte → [H⁺] = 0,05 = 5 × 10⁻². pH = −log 0,05 = −(log 5 + log 10⁻²) = −(0,699 − 2).pH = 1,30

¿La sabías?

9Una solución tiene pH 4. ¿Cuál es su [H⁺]?

Antilogaritmo: [H⁺] = 10^−pH = 10⁻⁴.10⁻⁴ mol/L = 0,0001 M

¿La sabías?

10El ácido acético tiene pKa 4,76. En una solución de pH 5,76, ¿cuál es la proporción [acetato]/[ácido acético]?

[aceptor]/[dador] = 10^{pH − pKa} = 10^{5,76 − 4,76} = 10¹.10 (diez de acetato por cada uno de ácido)

¿La sabías?

Revisión de las diapositivas

Errores que corregí en esta guía

Para que no te confundas si estudias con las diapositivas y con la guía a la vez. En rojo, los errores; en azul, precisiones.

Diapositiva 8 · Ejercicio resumen (el más importante)El último renglón pone … + log mx − log 4 …. El 4 es el índice de la raíz y divide al logaritmo: es ¼ log (m x) = ¼ log m + ¼ log x. Respuesta: 2 log a − 2 log b − ¾ log m + ¼ log x. Con a = 2, b = 3, m = 5, x = 7, el original y esta respuesta dan −0,665; la de la diapositiva da −0,109.
Diapositiva 5 · Logaritmo de la basePone log_e 2,71 = 1. Correcto: log_e e = 1, porque e = 2,71828… (ln 2,71 = 0,997).
Diapositiva 6 · ProductoDice «la suma de los factores». Correcto: la suma de los logaritmos de los factores.
Diapositiva 6 · CocientePone 0,698. 1 − 0,30103 = 0,69897, que se redondea a 0,699.
TipeosAPLICAIÓN → aplicación (diap. 9 y 14) · «para que de 8» → dé (diap. 2) · [aceptor]/dador → [aceptor]/[dador] (diap. 14).
Precisión · Diapositiva 9«pH = −log [H⁺] (para ácidos fuertes)»: la fórmula vale para cualquier solución. Lo que es solo para ácidos fuertes es usar la concentración del ácido como [H⁺].
Precisión · Diapositiva 8«Logmx/4» se presta a confusión. Es mejor escribir ¼ · log (m x) o (log m x)/4, que fue justo lo que causó el error del último renglón.

iLa idea de todo el tema en 30 segundos

1¿Qué es un logaritmo?

★La pregunta del logaritmo

Los ejemplos de la diapositiva 3

iLas dos bases que vas a usar extra

La regla de los logaritmos en base 10 extra

★Lo que ya sabes del Tema 1

!No existe el logaritmo de 0 ni de un número negativo extra

2Propiedades de los logaritmos

1 · Logaritmo de 1

2 · Logaritmo de la base corregido

3 · Producto

4 · Cociente corregido

5 · Potencia

6 · Raíz

!Errores en las diapositivas 5 y 6

El truco: los logaritmos «bajan un escalón» las operaciones

!Las trampas de siempre extra

3Ejercicio resumen: desarrollar un logaritmo

!Error en la diapositiva 8 (el último renglón)

4Cologaritmo y pH

colog 100

colog 10−5

iLa aplicación en química: el pH

!Precisión sobre «(para ácidos fuertes)»

Ejemplo de la diapositiva · pH de una solución de HCl 10−3 M

✓Compruébalo

!La trampa

★Si [H+] no es una potencia de 10 exacta extra

La escala de pH

iCada unidad de pH es un orden de magnitud

+Dónde lo verás: la caries

5Antilogaritmo

log2 X = 3

log X = 2

★En la calculadora y en el pH extra

6La ecuación de Henderson-Hasselbalch

iVocabulario que necesitas

La deducción, paso a paso

La aplicación del antilogaritmo (diapositiva 14)

Ejemplo resuelto · el buffer de bicarbonato extra

✓Compruébalo

!La trampa

★Para razonar sin calculadora extra

+Dónde lo verás: la saliva

Resumen en una tabla

Practica

Ejercicios extra

Errores que corregí en esta guía

¿Te sirvió esta guía?

colog 10⁻⁵

Ejemplo de la diapositiva · pH de una solución de HCl 10⁻³ M

★Si [H⁺] no es una potencia de 10 exacta extra

log₂ X = 3